Método de factorización

Toda ecuación cuadrática se puede descomponer en factores sin importar si sus raíces son reales o complejas.

Partamos de:

Dividimos la ecuación para a≠0, obteniendo:

Por las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado, sabemos que:

Por esta ocasión vamos a hacer uso de la siguiente notación, "∝" y "β" en lugar de "x" y "y" respectivamente (notación que más adelante nos permitirá entender de mejor manera el método alternativo de Po-Shen Loh), por lo que:

Finalmente, a la ecuación x²+(b/a)x+(c/a)=0 por sustitución la podemos escribir como:

Por la propiedad del producto cero:

En la demostración anterior, notamos que al pasar de (ax²+bx+c=0) a su forma equivalente (x²+(b/a)x+(c/a)=0), las solución de la ecuación cuadrática son dos cantidades cuyo producto es igual al término independiente de la ecuación cuadrática equivalente y su suma igual al coeficiente con signo cambiado del término lineal. En general, el problema de este método es que resulta muy difícil buscar intuitivamente esas dos cantidades, limitándolo únicamente a las reglas básicas de factorización de expresiones polinómicas dentro del campo de los reales.

En conclusión, queda claro que sólo algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado se podrán resolver por factorización simple (factor común, diferencia de cuadrados-binomios conjugados, trinomio de la forma simple, trinomio de la forma compuesta), considerando además, que el método funciona únicamente cuando el lado derecho de la ecuación es cero y el lado izquierdo es factorizable, sin olvidar además el uso de la propiedad del producto cero de los números reales, a.b = 0 si y sólo si a = 0 ó b = 0.

Ejemplos