Naturaleza de las raíces (ecuación cuadrática)

Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática

Mediante la regla de completar cuadrados, vamos a determinar las raíces de la ecuación polinómica de segundo grado y con ello podremos analizar qué naturaleza tienen estas soluciones.

Partimos de la ecuación cuadrática:

Sabemos que a≠0, entonces sin problema alguno podemos dividir todos los términos de la igualdad para "a", resultando así la siguiente ecuación equivalente:

Procedemos a pasar el término independiente al segundo miembro de la ecuación, para que en su primer miembro queden únicamente los términos con la variable "x".

Como buscamos que el primer miembro de la ecuación se transforme en un trinomio cuadrado perfecto, añadimos a ambos lados de la igualdad el término (b/2a)², obteniendo así lo siguiete:

Factorizando el primer miembro de la igualdad y reduciendo el segundo miembro, nos queda:

Sacamos la raíz cuadrada a cada lado de la ecuación, obteniendo así:

Finalmente, al despejar "x" y reducir el segundo miembro de la igualdad, tenemos las dos raíces (soluciones) de la ecuación.

Cada solución muestra la expresión (b²-4ac) que se encuentra dentro de una raíz cuadrada, razón por la cual la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática, dependerá del valor que tome dicha expresión a la que llamaremos discriminante (Δ).

Consolida lo aprendido con el siguiente vídeo (incluye ejercicios de aplicación)

Evalúa tus conocimientos desarrollando la siguiente prueba

Propiedades de las raíces (ecuación cuadrática)

Propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática

La siguiente demostración, nos permitirá determinar las relaciones existentes entre las raíces de la ecuación cuadrática con sus coeficientes y a partir de ello establecer propiedades.

Partamos de las soluciones de la ecuación polinómica de segundo grado:

Al sumar las dos raíces entre sí, obtenemos:

Si las multiplicamos, su resultado es el siguiente:

Por lo tanto, las raíces "x₁" y "x₂" de cualquier ecuación cuadrática cumplen las siguientes propiedades:

Por definición de ecuación cuadrática, sabemos que:

,

si la dividimos por su coeficiente "a≠0", nos da una ecuación cuadrática equivalente:

Si consideramos las propiedades antes demostradas de las raíces de una ecuación cuadrática, es decir:

Entonces, es más que evidente que la ecuación cuadrática equivalente sería lo mismo que: 

En conclusión, se puede reconstruir una ecuación cuadrática si se conoce únicamente sus dos raíces o soluciones. 

Complementa lo aprendido mirando el siguiente vídeo

Evalúa tus conocimientos desarrollando la siguiente prueba